Euclidea 游戏解答与证明

在 X Round 4 上做到了「尺规作图」这道非常有意思的提交答案题,后来得知这题的灵感来自于 Euclidea 这款智力游戏,于是决定体验一下。

然后就意识到自己的几何水平退化实在太厉害了…于是决定写篇博客来记录一下自己解题的心路历程。

1. Alpha

1.1 Angle of 60°

给出一条射线,作出以该射线为边的 \(60^\circ\) 角。

解法

为了方便,设射线的端点为 \(O\),我们在射线上取一点 \(A\)。

分别以 \(O\) 和 \(A\) 为圆心,\(OA\) 为半径画圆,两圆交于 \(C_1,C_2\) 两点。

则 \(\angle C_1OA\) 和 \(\angle C_2OA\) 即为所求角(别忘了把这两个角都画出来,从而解锁隐藏 V 星)。

花费:3L 3E(只画出一个角)。

附最终完成图(图简单就不标点了):

1.2 Perpendicular Bisector

作出给定线段的中垂线。

解法

初中几何经典作图题。

步骤如下:

  1. 以两端点为圆心,线段长度为半径,作两个圆,交于 \(C_1,C_2\) 两点;
  2. 连接 \(C_1C_2\) 即为所求。

附中垂线的判定:若一点到线段两端点的距离相等,则该点在线段的中垂线上。

结合这个定义就不难理解这个作图方式的正确性了。

花费:3L 3E。

1.3 Midpoint

给出两定点,作两定点连线段的中点。

解法

连接两点后,直接用中垂线工具作出线段中垂线,与线段交点即为所求。

花费:2L 4E。

图略。

1.4 Circle in Square

作给定正方形的内接圆。

解法

  1. 连接一条对角线;
  2. 作其中一条边的中垂线,交该边于 \(P\) 点,交对角线于 \(O\) 点。
  3. 以 \(O\) 点为圆心,\(OP\) 为半径作圆,即为所求。

花费:3L 5E。

1.5 Rhombus in Rectangle

在给出的矩形内,作一个菱形,要求菱形和矩形共用一条对角线。

解法

关于菱形的对角线,有一个重要性质:菱形的两条对角线互相垂直平分。

矩形的一条对角线作为菱形的一条对角线,菱形的另一条对角线可以利用上述性质,作出矩形对角线的中垂线得到。

因为矩形有两条对角线,我们可以用两条对角线分别画出两个满足题意的菱形。

花费:3L 5E(只画出一个菱形)。

一个菱形的图
最终图

1.6 Circle Center

求出给定圆的圆心。

解法一

在圆上任取两点,作两点连线的中垂线,由垂径定理可知这条中垂线为圆的直径,作该中垂线的中垂线,交点即为圆心。

花费:2L 6E。

解法二

上面的做法满足了 L 的要求,但没有满足 E 的要求。而下面的做法恰恰相反,只满足了 E 的要求。这意味着我们需要完成这关两次才能拿到三星的成绩。

先在圆上取一点,记为 \(A\),以 \(A\) 为圆心,小于给出圆直径的长度为半径 \(r\) 作圆 \(C_1\)。

\(C_1\) 与给出的圆会产生两个交点,记其中一个交点为 \(B\)。接下来以 \(B\) 为圆心,\(AB\) 长为半径(因为 \(B\) 在 \(C_1\) 上,所以 \(|AB|=r\))作圆 \(C_2\)。

\(C_2\) 与给出的圆会产生两个交点,其中一个交点为 \(A\),另外一个交点我们记为 \(C\)。接下来以 \(C\) 为圆心,\(BC\) 长为半径(和上面同理,\(|BC|=r\))作圆 \(C_3\)。

\(C_1\) 和 \(C_2\) 会产生两个交点,记作 \(D_1,D_2\)。 \(C_2\) 和 \(C_3\) 会产生两个交点,记作 \(E_1,E_2\)。

连接 \(D_1D_2\) 和 \(E_1E_2\) 并延长,两直线交点即为所求圆心。

结合下图理解一下:

为什么这样是正确的呢?

\(D_1,D_2\) 到 \(A\) 点和 \(B\) 点的距离相等,因此 \(D_1D_2\) 为 \(AB\) 的中垂线。

而根据垂径定理,\(D_1D_2\) 一定经过圆心。

同理 \(E_1E_2\) 是 \(BC\) 的中垂线,且也过圆心。

因而这两条直线的交点即为圆心。

花费:5L 5E。

1.7 Inscribed Square

给出圆的圆心,求其内接正方形。正方形的一个顶点已经给出。

解法一

正方形两条对角线互相垂直平分,根据这一性质可以画出两条对角线,从而确定四个顶点。将这几个顶点顺次连接即可。

花费:6L 8E

解法二

我们设给定圆的圆心为 \(O\)。

按以下步骤来作图:

  1. 在圆上取一点 \(A\),以 \(A\) 为圆心,\(AO\) 长为半径作圆 \(C_1\),交给定圆于 \(B,C\) 两点。
  2. 以 \(B\) 为圆心,\(BC\) 长为半径作圆 \(C_2\),交给定圆于 \(D\) 点。

先附一张图:

接下来,连接 \(BO\) 并延长,交 \(C_2\) 于 \(E,F\) 两点,连接 \(DE\) 并延长,交给定圆于 \(G\) 点。

连接 \(DF\) 交给定圆于 \(H\),连接 \(AG,AH\),则四边形 \(AHDG\) 即为所求正方形。

正确性证明待填坑。

2. Beta

2.1 Angle Bisector

作已知角的平分线。

解法一

在一边上任取一点 \(A\),以顶点 \(O\) 为圆心,\(OA\) 为半径作圆,交另外一边于 \(B\)。

作 \(AB\) 的中垂线即为所求。

根据等腰三角形三线合一的性质容易证明这一作法是正确的。

花费:2L 4E

2.2 Intersection of Angle Bisectors

求给定三角形的内心(三条角平分线的交点,三角形内切圆圆心)。

解法一

直接用角平分线工具画出两条角平分线,交点即为所求。

花费:2L 8E

解法二

用传统的方式画角平分线,作图的时候重复利用已有的圆即可减小开销。

(待填坑)

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