[洛谷 4424,loj 2494][AHOI/HNOI2018]寻宝游戏

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P4424

https://loj.ac/problem/2494

题解

是 myy 的题呢 orz

我们先考虑 \(m=1\) 的情况。

容易发现位运算存在这样的规律:

  1. \(\vee 1\) 和 \(\wedge 0\) 会直接影响运算结果,前者使得值变为 \(1\),后者使得值变为 \(0\);
  2. \(\vee 0\) 和 \(\wedge 1\) 对结果没有影响。

由上面两个结论可以知道,运算最后结果为 \(1\),当且仅当存在至少一个 \(\vee 1\) 操作,且最后一个 \(\vee 1\) 操作在 \(\wedge 0\) 操作之前。

看起来似乎还是不太好办?我们转化一下。

设操作序列中 \(\vee=0\),\(\wedge=1\)。

同时我们设数字序列从下往上看得到的数为 \(x\),操作序列从下往上看得到的数为 \(y\)。

这样我们可以转化条件:运算最后结果为 \(1\),当且仅当 \(x \gt y\)。

感性理解一下,从高位向低位相同的位都不影响结果,而对于第一个不同的位,\(x\) 对应的位为 \(1\),\(y\) 对应的位为 \(0\) 时,意味着我们在这个位上执行了一次 \(\vee 1\) 操作,根据前面的性质,易知这种情况下运算结果为 \(1\),反之同理。

最后解集一定是这两个不等式之一:\(x \gt y\)(该位是 \(1\)) 或者是 \(x \leq y\)(该位是 \(0\))。

这样我们就解决了 \(m=1\) 的情况。

对于多个位的情况,我们需要将各个位的结果合并。

说白了就是解这样一个不等式组:

$$
\begin{cases}
x \gt a_1\\
x \leq a_2\\
x \leq a_3\\
x \gt a_4\\
\vdots
\end{cases}
$$

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
struct node
{
 string s;
 int id;
 bool operator<(const node&a)const
 {
  return s>a.s||(s==a.s&&id<a.id);
 }
}p[5005];
string a[1005];
long long res[5005];
int main()
{
 ios::sync_with_stdio(false);
 int n,m,q;
 cin>>n>>m>>q;
 for(int i=1;i<=n;i++)
  cin>>a[i];
 for(int i=0;i<m;i++)
 {
  p[i].id=i;
  for(int j=n;j;j--)
  {
   a[j][i]-='0';
   res[i]=(res[i]*2+a[j][i])%MOD;
   p[i].s.push_back(a[j][i]);
  }
 }
 p[m].id=m;
 p[m+1].id=m+1;
 for(int j=n;j;j--)
 {
  res[m]=(res[m]*2+1)%MOD;
  p[m].s.push_back(1);
 }
 res[m]++;
 sort(p,p+m+1);
 while(q--)
 {
  string str;
  cin>>str;
  int l=0,r=m+1;
  for(int i=m;i;i--)
   if(str[p[i].id]=='1')
   {
    l=i;
    break;
   }
  for(int i=0;i<=m;i++)
   if(str[p[i].id]=='0')
   {
    r=i;
    break;
   }
  cout<<(l>r?0:(res[p[l].id]-res[p[r].id]+MOD)%MOD)<<endl;
 }
 return 0;
}

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