相信奇迹的人，本身就和奇迹一样了不起。
A. 缘分
题目链接
https://www.luogu.org/problem/P5436
题解
一道非常不错的签到题。
首先，\(lcm(a,b) = \frac{a \times b}{\gcd (a,b)}\)。要想让 \(lcm(a,b)\) 尽可能大，当然要让 \(\gcd (a,b)\) 尽可能小。所以我们要取两个互质的整数 \(a,b\)。
怎样让 \(a \times b\) 尽可能大呢？当然是让两个数都尽可能大。于是我们的方案就呼之欲出了：我们取 \(n\) 和 \(n-1\) 两个数字。
特别地，当 \(n=1\) 时，我们取的两个整数都是 \(1\)，答案也是 \(1\)。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
long long x;
cin>>x;
if(x==1)cout<<1<<endl;
else cout<<x*(x-1)<<endl;
}
return 0;
}
B. 奇迹
题目链接
https://www.luogu.org/problem/P5440
题解
搜索题好毒瘤啊QAQ
我们从日期第一位开始扫描，没有数字的位置枚举该填的数字填上。
填完所有数字后，先判断日期是否合法，再判断该日期是否满足题意要求即可。
这里为了方便，先使用线性筛在 \(O(n)\) 的时间内筛出了所有的质数。从而可以在 \(O(1)\) 的时间内判断任意一个数字是否是质数。
当然，在搜索中途就排除无效日期可以加快搜索效率。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int daynum[]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int f[100000005],res[6000005],cnt,date[15],num,ans;
char s[15];
inline bool is_run(int y)
{
if(y%4==0)
{
if(y%100==0)
{
if(y%400==0)return true;
return false;
}
return true;
}
return false;
}
inline bool legal(int y,int m,int d)
{
if(m>12||m==0||d==0||y==0)return false;
if(m==2)
{
if(is_run(y))
{
if(d>29)return false;
return true;
}
else
{
if(d>28)return false;
return true;
}
}
else
{
if(d>daynum[m])return false;
return true;
}
}
void dfs(int d)
{
if(d==8)
{
int y=num/10000,m=(num%10000)/100,d=num%100;
if(legal(y,m,d))
if((!f[d])&&(!f[m*100+d])&&(!f[y*10000+m*100+d]))ans++;
return;
}
if(date[d]!=-1)
{
num=num*10+date[d];
dfs(d+1);
num/=10;
return;
}
for(int i=0;i<=9;i++)
{
if(d==4&&i==2)break;
if(d==5&&i==0&&date[d-1]==0)continue;
if(d==5&&date[4]*10+i>12)break;
if(d==6&&i==4)break;
date[d]=i;
num=num*10+i;
dfs(d+1);
date[d]=-1;
num/=10;
}
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
f[0]=f[1]=1;
for(long long i=2;i<=99991231;i++)
{
if(!f[i])res[++cnt]=i;
for(long long j=1;j<=cnt&&i*res[j]<=99991231;j++)
{
f[i*res[j]]=1;
if(i%res[j]==0)break;
}
}
while(t--)
{
ans=0;
scanf("%s",s);
for(int i=0;i<8;i++)
{
if(s[i]=='-')date[i]=-1;
else date[i]=s[i]-'0';
}
dfs(0);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
C. 伤痕
题目链接
https://www.luogu.org/problem/P5441
题解
考虑计算不合法的方案数。
什么时候选出的四个点会不强连通呢？
- 一个点向另外三个点各引一条单向边，记这样的四元组的数量为 \(T\)；
- 三个点向同一个点引一条单向边；
- AB 和 CD 间都是无向边，但 A 向 C 和 D 引单向边，B 向 C 和 D 引单向边。
记点 \(i\) 引的单向边有 \(S_i\) 条。
则有：
$$T=\sum_{i=1}^n C_{S_i}^3 \geq n \times C_{\frac{n-3}{2}}^3$$
从而 \(T\) 有最小值 \(n \times C_{\frac{n-3}{2}}^3\)，也即合法方案数的最大值为：
$$C_4^n – n \times C_{\frac{n-3}{2}}^3 = \frac{n \times (n-3) \times (n^2+6n-31)}{48}$$
怎么构造方案来达到这个最大值呢？
一种构造方案（也是官方题解的构造方案）是这样的：在圆内接 \(n\) 边形内，所有最长的对角线连双向边，而每个点则向顺时针方向的 \(\frac{n-3}{2}\) 个点引一条有向边。
显然这时候没有第二类不强连通的四元组，第三类呢？因为对于每个点，只向接下来 \(\frac{n-3}{2}\) 个点引单向边，所以第三类四元组也不存在。
这时候的合法方案数也就是最大值了。
#include <cstdio>
#include <cstring>
int a[105];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
if(n==1)
{
puts("0\n0");
return 0;
}
printf("%d\n",n*(n-3)*(n*n+6*n-31)/48);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
memset(a,0,sizeof(a));
for(int j=1;j<=(n+1)/2;j++)
a[(i+j-1)%n+1]=1;
for(int j=1;j<=n;j++)
printf("%d ",a[j]);
puts("");
}
return 0;
}