X Round 2 补题记

相信奇迹的人,本身就和奇迹一样了不起。

A. 缘分

题目链接

https://www.luogu.org/problem/P5436

题解

一道非常不错的签到题。

首先,\(lcm(a,b) = \frac{a \times b}{\gcd (a,b)}\)。要想让 \(lcm(a,b)\) 尽可能大,当然要让 \(\gcd (a,b)\) 尽可能小。所以我们要取两个互质的整数 \(a,b\)。

怎样让 \(a \times b\) 尽可能大呢?当然是让两个数都尽可能大。于是我们的方案就呼之欲出了:我们取 \(n\) 和 \(n-1\) 两个数字。

特别地,当 \(n=1\) 时,我们取的两个整数都是 \(1\),答案也是 \(1\)。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int t;
 cin>>t;
 while(t--)
 {
  long long x;
  cin>>x;
  if(x==1)cout<<1<<endl;
  else cout<<x*(x-1)<<endl;
 }
 return 0;
}

B. 奇迹

题目链接

https://www.luogu.org/problem/P5440

题解

搜索题好毒瘤啊QAQ

我们从日期第一位开始扫描,没有数字的位置枚举该填的数字填上。

填完所有数字后,先判断日期是否合法,再判断该日期是否满足题意要求即可。

这里为了方便,先使用线性筛在 \(O(n)\) 的时间内筛出了所有的质数。从而可以在 \(O(1)\) 的时间内判断任意一个数字是否是质数。

当然,在搜索中途就排除无效日期可以加快搜索效率。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int daynum[]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int f[100000005],res[6000005],cnt,date[15],num,ans;
char s[15];
inline bool is_run(int y)
{
 if(y%4==0)
 {
  if(y%100==0)
  {
   if(y%400==0)return true;
   return false;
  }
  return true;
 }
 return false;
}
inline bool legal(int y,int m,int d)
{
 if(m>12||m==0||d==0||y==0)return false;
 if(m==2)
 {
  if(is_run(y))
  {
   if(d>29)return false;
   return true;
  }
  else
  {
   if(d>28)return false;
   return true;
  }
 }
 else
 {
  if(d>daynum[m])return false;
  return true;
 }
}
void dfs(int d)
{
 if(d==8)
 {
  int y=num/10000,m=(num%10000)/100,d=num%100;
  if(legal(y,m,d))
   if((!f[d])&&(!f[m*100+d])&&(!f[y*10000+m*100+d]))ans++;
  return;
 }
 if(date[d]!=-1)
 {
  num=num*10+date[d];
  dfs(d+1);
  num/=10;
  return;
 }
 for(int i=0;i<=9;i++)
 {
  if(d==4&&i==2)break;
  if(d==5&&i==0&&date[d-1]==0)continue;
  if(d==5&&date[4]*10+i>12)break;
  if(d==6&&i==4)break;
  date[d]=i;
  num=num*10+i;
  dfs(d+1);
  date[d]=-1;
  num/=10;
 }
}
int main()
{
 int t;
 scanf("%d",&t);
 f[0]=f[1]=1;
 for(long long i=2;i<=99991231;i++)
 {
  if(!f[i])res[++cnt]=i;
  for(long long j=1;j<=cnt&&i*res[j]<=99991231;j++)
  {
   f[i*res[j]]=1;
   if(i%res[j]==0)break;
  }
 }
 while(t--)
 {
  ans=0;
  scanf("%s",s);
  for(int i=0;i<8;i++)
  {
   if(s[i]=='-')date[i]=-1;
   else date[i]=s[i]-'0';
  }
  dfs(0);
  printf("%d\n",ans);
 }
 return 0;
}

C. 伤痕

题目链接

https://www.luogu.org/problem/P5441

题解

考虑计算不合法的方案数。

什么时候选出的四个点会不强连通呢?

  1. 一个点向另外三个点各引一条单向边,记这样的四元组的数量为 \(T\);
  2. 三个点向同一个点引一条单向边;
  3. AB 和 CD 间都是无向边,但 A 向 C 和 D 引单向边,B 向 C 和 D 引单向边。

记点 \(i\) 引的单向边有 \(S_i\) 条。

则有:

$$T=\sum_{i=1}^n C_{S_i}^3 \geq n \times C_{\frac{n-3}{2}}^3$$

从而 \(T\) 有最小值 \(n \times C_{\frac{n-3}{2}}^3\),也即合法方案数的最大值为:

$$C_4^n – n \times C_{\frac{n-3}{2}}^3 = \frac{n \times (n-3) \times (n^2+6n-31)}{48}$$

怎么构造方案来达到这个最大值呢?

一种构造方案(也是官方题解的构造方案)是这样的:在圆内接 \(n\) 边形内,所有最长的对角线连双向边,而每个点则向顺时针方向的 \(\frac{n-3}{2}\) 个点引一条有向边。

显然这时候没有第二类不强连通的四元组,第三类呢?因为对于每个点,只向接下来 \(\frac{n-3}{2}\) 个点引单向边,所以第三类四元组也不存在。

这时候的合法方案数也就是最大值了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
int a[105];
int main()
{
 int n;
 scanf("%d",&n);
 if(n==1)
 {
  puts("0\n0");
  return 0;
 }
 printf("%d\n",n*(n-3)*(n*n+6*n-31)/48);
 for(int i=1;i<=n;i++)
 {
  memset(a,0,sizeof(a));
  for(int j=1;j<=(n+1)/2;j++)
   a[(i+j-1)%n+1]=1;
  for(int j=1;j<=n;j++)
   printf("%d ",a[j]);
  puts("");
 }
 return 0;
}

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